कल्पना कीजिए कि आप किसी बड़े शहर में किसी दोस्त को अपना पता बता रहे हैं। आप कहेंगे — “मुख्य सड़क से 3 गली पूरब, फिर 4 मकान उत्तर।” बस यही निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) है — किसी बिंदु की जगह को दो संख्याओं से पक्का बता देना। इस अध्याय की खूबी यह है कि यहाँ ज्यामिति के प्रश्न बीजगणित के सूत्रों से हल हो जाते हैं, और आपको आकृति बनाने या प्रमेय याद करने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय अंक बटोरने वाला है, क्योंकि इसमें केवल दो-तीन सूत्र हैं और उन्हीं से लगभग सारे प्रश्न बन जाते हैं। शर्त बस इतनी है कि चिह्न (+ और −) में गलती न हो।
1. निर्देशांक तल — अक्ष, चतुर्थांश और चिह्न
दो लंबवत रेखाएँ खींचिए — एक क्षैतिज, जिसे x-अक्ष कहते हैं, और एक ऊर्ध्वाधर, जिसे y-अक्ष कहते हैं। ये जहाँ मिलती हैं वह बिंदु मूल बिंदु (origin) कहलाता है और उसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं। किसी भी बिंदु P के निर्देशांक (x, y) में x को भुज (abscissa) और y को कोटि (ordinate) कहते हैं।
क्रम बहुत महत्वपूर्ण है — (3, 5) और (5, 3) दो अलग-अलग बिंदु हैं। पहला अंक हमेशा x होता है, यानी “कितना दाएँ-बाएँ”, और दूसरा y, यानी “कितना ऊपर-नीचे”।
• पहला चतुर्थांश: x धनात्मक, y धनात्मक — (+, +)
• दूसरा चतुर्थांश: x ऋणात्मक, y धनात्मक — (−, +)
• तीसरा चतुर्थांश: x ऋणात्मक, y ऋणात्मक — (−, −)
• चौथा चतुर्थांश: x धनात्मक, y ऋणात्मक — (+, −)
- x-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का रूप (x, 0) होता है — कोटि शून्य।
- y-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का रूप (0, y) होता है — भुज शून्य।
- किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी = |y| और y-अक्ष से दूरी = |x|।
- चतुर्थांशों की गिनती हमेशा घड़ी की उल्टी दिशा (anticlockwise) में होती है।
2. दूरी सूत्र (Distance Formula)
दो बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी निकालने का सूत्र दरअसल पाइथागोरस प्रमेय का ही दूसरा रूप है। दोनों बिंदुओं को मिलाकर एक समकोण त्रिभुज बनाइए — क्षैतिज भुजा की लंबाई x-निर्देशांकों का अंतर है और ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई y-निर्देशांकों का अंतर। इन्हीं दोनों पर पाइथागोरस लगाने से दूरी सूत्र निकल आता है।
$PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
मूल बिंदु O(0, 0) से किसी बिंदु P(x, y) की दूरी —
$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$
चूँकि दोनों अंतरों का वर्ग किया जाता है, यह मायने नहीं रखता कि आपने $x_2-x_1$ लिया या $x_1-x_2$ — उत्तर वही आएगा। दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए वर्गमूल का ऋणात्मक मान नहीं लिया जाता।
हल — $x_2-x_1 = 6-2 = 4$ और $y_2-y_1 = 6-3 = 3$
$AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} =$ 5 इकाई।
यह वही 3, 4, 5 त्रिक है जो आपने त्रिभुज अध्याय में देखा था।
हल — $OP = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} =$ 15 इकाई।
ध्यान दीजिए कि दूरी सूत्र असल में पाइथागोरस प्रमेय का ही निर्देशांक रूप है — यदि वह प्रमेय दोहराना हो तो त्रिभुज अध्याय एक बार देख लीजिए।
3. दूरी सूत्र से आकृति पहचानना
बोर्ड में एक प्रश्न लगभग हर साल आता है — “सिद्ध कीजिए कि दिए गए बिंदु किसी समद्विबाहु त्रिभुज / वर्ग / समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।” इसका पूरा हल केवल दूरी सूत्र से हो जाता है। तरकीब यह है कि आप सभी भुजाएँ और ज़रूरत पड़ने पर विकर्ण नाप लें, फिर पहचान लें।
- समद्विबाहु त्रिभुज: कोई दो भुजाएँ बराबर।
- समबाहु त्रिभुज: तीनों भुजाएँ बराबर।
- समकोण त्रिभुज: दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग = सबसे बड़ी भुजा का वर्ग।
- समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ बराबर, पर विकर्ण बराबर नहीं।
- आयत: सम्मुख भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर।
- समचतुर्भुज: चारों भुजाएँ बराबर, पर विकर्ण अलग-अलग।
- वर्ग: चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर।
- संरेख (collinear) बिंदु: दो छोटी दूरियों का योग = सबसे बड़ी दूरी।
हल —
$AB = \sqrt{(6-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$BC = \sqrt{(-1-6)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(3-(-1))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$AB = CA = 5$, अतः त्रिभुज समद्विबाहु है।
अब $AB^2 + CA^2 = 25 + 25 = 50$ और $BC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$ — दोनों बराबर, अतः पाइथागोरस के विलोम से त्रिभुज समकोण भी है, जिसमें समकोण शीर्ष A पर है। (सिद्ध)
हल —
$PQ = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$QR = \sqrt{(5-3)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$PR = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
अब $PQ + QR = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} = PR$। छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर है, अतः तीनों बिंदु संरेख हैं और Q बिल्कुल बीच में है।
4. विभाजन सूत्र और मध्य-बिंदु सूत्र
मान लीजिए एक रस्सी के दो सिरे A और B हैं, और आप उस पर कोई गाँठ P लगाना चाहते हैं ताकि $AP : PB = m : n$ हो। उस गाँठ के निर्देशांक निकालने का सूत्र ही विभाजन सूत्र (section formula) है।
$P = \left( \frac{m \cdot x_2 + n \cdot x_1}{m + n} , \frac{m \cdot y_2 + n \cdot y_1}{m + n} \right)$
मध्य-बिंदु सूत्र — जब अनुपात 1 : 1 हो, तो यही सूत्र सरल होकर बनता है:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
सूत्र में ध्यान देने वाली बात यह है कि m का गुणा दूसरे बिंदु के निर्देशांक से होता है और n का पहले से — यह क्रॉस जैसा उलटा क्रम ही सबसे बड़ी भूल की जगह है। अनुपात m : n में m हमेशा A की ओर वाला हिस्सा AP है और n हिस्सा PB।
हल — यहाँ $m = 2, n = 3$
$x = (2 \times 6 + 3 \times 1) \div 5 = (12 + 3) \div 5 = 15 \div 5 = 3$
$y = (2 \times 7 + 3 \times 2) \div 5 = (14 + 6) \div 5 = 20 \div 5 = 4$
अतः P(3, 4)।
जाँच: $AP = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$ और $PB = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$। अनुपात $2\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 2 : 3$ — सही।
हल — $x = (-3 + 7) \div 2 = 4 \div 2 = 2$ और $y = (5 + (-1)) \div 2 = 4 \div 2 = 2$
मध्य-बिंदु = (2, 2)।
हल — त्रिभाजन का अर्थ है रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटना, अतः दो बिंदु होंगे — पहला 1 : 2 में और दूसरा 2 : 1 में।
पहला बिंदु $P: x = (1 \times (-7) + 2 \times 2) \div 3 = (-7 + 4) \div 3 =-1$; $y = (1 \times 4 + 2 \times (-2)) \div 3 = (4-4) \div 3 = 0$ ⇒ P(−1, 0)
दूसरा बिंदु $Q: x = (2 \times (-7) + 1 \times 2) \div 3 = (-14 + 2) \div 3 =-4$; $y = (2 \times 4 + 1 \times (-2)) \div 3 = (8-2) \div 3 = 2$ ⇒ Q(−4, 2)
5. शब्द समस्याएँ और बोर्ड-प्रकार के प्रश्न
इस अध्याय के बड़े अंक वाले प्रश्न तीन ही ढाँचों में आते हैं — (क) कोई अज्ञात निर्देशांक निकालना, (ख) अनुपात निकालना, और (ग) किसी शर्त से k का मान निकालना। तीनों में रास्ता एक ही है: शर्त को समीकरण में बदलिए और हल कर लीजिए।
हल — y-अक्ष पर बिंदु का रूप P(0, y) होगा।
शर्त:$PA = PB$, अतः $PA^2 = PB^2$
$(0-5)^2 + (y + 2)^2 = (0 + 3)^2 + (y-2)^2$
$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2-4y + 4$
$29 + 4y = 13-4y$
$8y =-16$ ⇒ $y =-2$
अतः अभीष्ट बिंदु (0, −2) है।
जाँच: $PA = \sqrt{25 + 0} = 5$ और $PB = \sqrt{9 + 16} = 5$ — बराबर।
हल — मान लीजिए अनुपात k : 1 है। विभाजन बिंदु की कोटि शून्य होगी, क्योंकि वह x-अक्ष पर है।
$(k \times 5 + 1 \times (-5)) \div (k + 1) = 0$
$5k-5 = 0$ ⇒ $k = 1$
अतः अनुपात 1 : 1 है, यानी x-अक्ष इस रेखाखंड को समद्विभाजित करता है।
हल — शर्त से दूरियों के वर्ग बराबर होंगे:
$(k-2)^2 + (3 + 1)^2 = (k-4)^2 + (3-5)^2$
$k^2-4k + 4 + 16 = k^2-8k + 16 + 4$
$-4k + 20 =-8k + 20$
$4k = 0$ ⇒ $k = 0$।
जाँच: बिंदु (0, 3) से (2, −1) की दूरी $= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$; (0, 3) से (4, 5) की दूरी $= \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ — बराबर।
अभ्यास प्रश्नावली
पहले खुद हल कीजिए, फिर उत्तर खोलिए।
प्रश्न 1. बिंदुओं (0, 0) और (5, 12) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. बिंदुओं (2, 4) और (6, 8) का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. बिंदुओं (−4, 0) और (0, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि (1, 1), (4, 1), (4, 4) और (1, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
प्रश्न 5. बिंदु A(1, 2) और B(6, 7) को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, −5) और (−2, 9) से समान दूरी पर हो।
प्रश्न 7. यदि (3, a) बिंदुओं (1, 2) और (5, 2) का मध्य-बिंदु हो, तो a ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8. बिंदु (−1, 7) और (4, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9. जाँचिए कि (1, 5), (2, 3) और (−2, 11) संरेख हैं या नहीं।
प्रश्न 10. एक वृत्त का केंद्र (2, −3) है और वह बिंदु (5, 1) से होकर जाता है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं (0, 0) और (6, 8) के बीच की दूरी कितनी है?
बिंदुओं (−2, 4) और (6, −2) का मध्य-बिंदु क्या है?
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का रूप क्या होता है?
बिंदु A(0, 0) और B(8, 4) को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु कौन-सा है?
बिंदु (−3, −5) किस चतुर्थांश में स्थित है?
मूल बिंदु से बिंदु (−6, 8) की दूरी कितनी है?
कैज़न (Kaizen) का अर्थ है — हर दिन थोड़ा बेहतर। आज केवल दूरी सूत्र के तीन प्रश्न सही कर लीजिए; कल विभाजन सूत्र के तीन। यही रोज़ का छोटा-सा अभ्यास बोर्ड में पूरा प्रश्न बनकर लौटेगा।